二项式定理及其它
二项式定理
基本定理
二项式定理是用于展开两数相加的幂次的公式:
我们可以考虑使用组合证明。由于我们可以从
下面使用归纳法证明:
当
结论显然成立。
假设对
这样就完成了我们的证明。
简单运用
组合恒等式
将
令
得到了组合数之和,
令
得到了组合数的交错和。
通过移项可以得到更进一步的结论::
结合
导数
现在我们重新考虑这个式子:
两边同时关于
令
这样我们得到了一个非常有意思的式子。
运用这个式子,我们可以算出:
事实上,你还可以对
组合数的平方和
对于这个结论,我们考虑下面的式子:
运用二项式定理展开可得:
考虑等号两边系数同为
当
这样就证明了组合数的平方和的结论。
二项式定理与$\text{e}$
根据泰勒展开,我们可以知道:
令
而我们平常所熟知的
运用二项式定理可以证明泰勒展开的结果与上面的定义等价:
由于:
所以这一项可以去掉。于是就得到了泰勒展开的结果。
多项式定理
与二项式定理,这个定理并不怎么常用。
可能是形式比较复杂,不便于理论分析。
多项式定理是二项式定理的扩展:
其中:
是多项式系数,同时也是多重集合的全排列数量。
组合证明方法与二项式定理类似。同时也可以从二项式定理归纳法而来。
牛顿二项式定理
牛顿二项式定理又称为广义二项式定理:
注意红色的字,这是非常重要的限制。
其中:
是在实数域的二项式系数。
不会那么高深的高数知识,不会证......
基本用途
这种形式并不常用,而另外一种形式很常用:
令
所以:
几何级数
令
所以:
令
妙啊!讨厌的
令
正是收敛几何级数。
这东西在生成函数里面很常见。
看生成函数之前一定要学好牛顿二项式定理和泰勒展开QAQ。
现在我们来求一下有限几何级数的公式。
注意
开根运算
之前取
现在取
并且可以求任意幂次、任意精度的结果。
由于
这样我们就获得了一个求根号的好方法。